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Decidir quando dois espa‡os topológicos dados sÆo ou nÆo homeomorfos é uma tarefa árdua. De outro lado, o problema de classifica‡Æo de estruturas algébricas é, ao menos em primeira instância, mais simples. A Topologia Algébrica visa construir regras, chamadas de functores, que nos permitam atacar o problema de classifica‡Æo topológica no contexto algébrico. Tais functores se dividem em duas classes: os grupos de homotopia e as teorias de cohomologia. Ambos possuem a propriedade comum de serem invariantes por homotopia e de possuírem sequências exatas longas associadas. Por outro lado, grupos de homotopia sÆo puramente topológicos, enquanto que as teorias de cohomologia possuem um passo algébrico intermediário, ligado à µlgebra Homológica, o que as torna muito mais fáceis de computar. Esse paralelo entre topologia e álgebra sugere a existência de uma linguagem mais abstrata capaz de unificar teoria da homotopia para espa‡os topológicos e µlgebra Homológica. Esta linguagem, cujos fundamentos remontam os trabalhos de Quillen e Grothendieck, é precisamente o assunto deste livro.

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Yuri é licenciado em Física pela UFLA, mestre em Matemática pela UFMG e doutorando em Matemática pela mesma institui‡Æo. Seu interesse está voltado para a teoria das categorias em altas dimensäes e para seu papel na descri‡Æo moderna dos fundamentos da Física.

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