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wirkung des Raumes mit seiner Bewegungsgruppe. Dementsprechend ist der Weg, auf dem del´ Leser hier gefiihrt wird, zweigleisig; es wechseln Dbedegungen, welche den Raum bzw. die seine Metrik definierende quadratische Form betreffen, mit Betrachtungen liber seine Bewegungs gruppe, die orthogonale Gruppe im weitesten Sinne. Der Titel bringt diese doppelte Aufgabe zum Ausdruck. Beachtet man, daB die Theorie der hyperkomplexen Systeme in ihrer historischen Entwicklung und ihrem heutigen Bestand weitgehend mit der Darstellung von Gruppen durch Abbildungen eines affinen Raumes auf sich ubereinstimmt, so ergibt sich damit die Stellung im heutigen GefUge der Mathematik, welche die Arithmetik der quadratischen Formen beanspruchen muB. Sie ist im gleichen Sinne neben del´ hyperkomplexen Algebra und Arith metik einzuordnen, wie die orthogonale Gruppe neben der affinen steht. Ich hoffe, daB die Herausarbeitung der gruppentheoretischen Motive in del´ Theorie der quadratischen Formen den Erfolg hat, daB die beiden aus den Disquisitiones Arithmeticae erwachsenen Zweige der Arithmetik einander naher gebracht werden, und daB so die Einheit un serer Wissen schaft gefordert wird. Wenngleich das Buch vieles in diesel´ Form Neue bringt, bin ieh mil´ bewuBt, daB mil´ die Anregungen hierzu von vielen Seiten zugeflossen sind, wovon die im Text vorkommenden Namen, die vielfach un serer Generation angehoren, Zeugnis ablegen. Nicht immer ist es aber moglich, den Urheber eines Gedankens exakt festzulegen; Wissenschaft ist Gemeinschaftsar bei t.

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Erstes Kapitel. Algebra der metrischen Räume.-
1. Der metrische Raum und seine Automorphismen.- 1. Definition eines metrischen Raumes.- 2.Halbeinfache Räume.- 3. Die Automorphismen eines metrischen Raumes.- 4. Darstellung der Automorphismen durch Spiegelungen.- 5. Die Irreduzibilität der orthogonalen Gruppe.- 6. Die Ähnlichkeitstransformationen.-
2. Die Typen der metrischen Räume.-
3. Die Automorphismengruppe eines isotropen Raumes.- 1. Die Erzeugung von 120082 aus gewissen Untergruppen.- 2. Eine Darstellung der Automorphismen durch Matrizen.- 3. Beweis für Satz 3.1.- 4. Die Struktur der Gruppe 120082.- 5. Beweis für Satz 3.5.-
4. Die Spinor-Darstellung der orthogonalen Gruppe.- 1. Die Cliffordschen Algebren.- 2. Die Darstellung der Automorphismengruppe von R in C2.- 3. Die Darstellung der Ähnlichkeitstransformationen in C2.-
5. Räume der Dimensionen 2 bis 6.- 1. Zweidimensionale Räume.- 2. Dreidimensionale Räume.- 3. Die Modulargruppe.- 4. Vierdimensionale Räume.- 5. Fünfdimensionale Räume.- 6. Sechsdimensionale Räume.- Zweites Kapitel. Metrische Räume über perfekten diskret bewerteten Körpern.-
6. Die Grundeigenschaften perfekter diskret bewerteter Körper und ihrer quadratischen Erweiterungen.- 1. Quadratische Erweiterungen.- 2. Quaternionen-Algebren.-
7. Invariante Kennzeichnung der Räume und Raumtypen.- 1. Die Q-Räume.- 2. Aufzählung der anisotropen Räume.- 3. Die Invarianten der Räume und Raumtypen.-
8. Räume und Raumtypen über den Körpern der reellen und komplexen Zahlen.-
9. Die Gitter.- 1. Definitionen.- 2. Kanonische Basen.- 3. Maximale Gitter.- 4. Beispiele.- ...

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