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Das vorliegende Buch solI eine Darstellung der Funktionentheorie in dem Ausma13 geben, wie es jeder, der mit Mathematik irgendwie zu tun ´hat, unbedingt benotigt; wer heutzutage etwa die stiirmische Ent wickiung von Physik und Technik verfolgt, sto13t ja immer wieder auf funktionentheoretische Probleme. Vorausgesetzt werden an Kennt nissen nur die Anfangsgriinde der Differential- und Integralrechnung. In der ersten Halfte des Buches werden die auf einem Gebiet der Ebene eindeutigen Funktionen behandelt und erst mit der analytischen Fort setzung auch die mehrdeutigen Funktionen einbezogen. AusfUhrIich wird stets auf die konforme Abbildung eingegangen, einiges wird uber Randwertprobleme der Potentialtheorie gesagt, die Eulerschen In tegrale werden naher untersucht und einen breiten Raum nehmen die algebraischen Funktionen ein. Wieviel bei der Darstellung eigenstandig ist, wird der Kenner ersehen. In den Ubungsbeispielen, die jedem Ab schnitt beigefUgt sind, wird mitunter auf weitergehende Satze hin geWlesen. Das Lehrbuch ist in einer 15jahrigen Lehrtatigkeit an der Wiener Universitat entstanden, in deren Veriauf ich mehrfach uber dieses Thema vorgetragen habe. Den Herren Priv.-Doz. Dr. L. Schmetterer und Dr. K. Prachar danke ich fUr ihre sehr muhevolle Mitarbeit beim Lesen der Korrekturen, dem Verlage fur die gro13e Sorgfalt, die er bei der Her steHung des Werkes bewies. Graz-Wien, Weihnachten 1949. II. Hornieh. Inhaltsverzeichnis.

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I. Die komplexen Zahlen.-
1. Arithmetische Einführung der komplexen Zahlen.-
2. Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen.-
3. Folgen und Reihen im Komplexen.-
4. Exponentialfunktion und Logarithmus.- Übungsbeispiele.- II. Die differenzierharen Funktionen.-
1. Stetigkeit und. Differenzierbarkeit im Komplexen.-
2. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.-
3. Abbildung durch analytische Funktionen.-
4. Die linearen Funktionen.- Übungsbeispiele.- III. Potenzreihen.-
1. Der Konvergenzkreis.-
2. Gleichmäßige Konvergenz und Differenzierbarkeit.-
3. Der Abelsche Stetigkeitssatz.- Übungsbeispiele.- IV. Integrale im Komplexen.-
1. Rektifizierbare Kurven.-
2. Kurvenintegrale.-
3. Integrale von Funktionen.- Übungsbeispiele.- V. Der Satz von Cauchy.-
1. Der Beweis des Satzes nach Goursat.-
2. Die Cauchysche Formel.-
3. Darstellung der regulären Funktionen durch Potenzreihen.-
4. Koeffizientenabschätzungen.-
5. Einige Reihenentwicklungen.-
6. Inverse Funktionen.-
7. Darstellung von Funktionen durch Randwerte.- Übungsbeispiele.- VI. Isolierte Singularitiiten.-
1. Laurentsche Reihen.-
2. Funktionen im Kreisring.-
3. Pole und wesentlich singuläre Stellen.-
4. Das Residuum.- Übungsbeispiele.- VII. Reihen von Funktionen.-
1. Der Weierstraßsche Doppelreihensatz.-
2. Der Satz von Vitali.-
3. Unendliche Produkte.-
4. Partialbruchreihen.-
5. Der Satz von Mittag-Leffler.- Übungsbeispiele.- VIII. Analytische Fortsetzung.-
1. Analytisch aequivalente Funktionen.-
2. Die Riemannschen Flächen.-
3. Fortsetzung von Potenzreihen über den Rand des Konvergenzkreises.- Übungsbeispiele.- IX. Untersuchung spezieller Funktionen.-
1. Die konforme Abbildung zweier Gebiete.-
2. Die konforme Abbildung durch ein Polynom.-
3. Die periodischen Funktionen.-
4. Abbildung der Halbebene auf ein Dreieck.-
5. Die Eulerschen Integrale.-
6. Der Satz von Picard.-
7. Der Riemannsehe Abbildungssatz.- Übungsbeispiele.- X. Algebraische Funktionen und ihre Integrale.-
1. Implizite Funktionen.-
2. Algebraische Funktionen.-
3. Integrale von algebraischen Funktionen.-
4. Die elliptischen Gebilde.-
5. Die doppelperiodischen Funktionen.-
6. Der weitere Ausbau der Theorie.- Übungsbeispiele.

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