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O artigo "Mémoire sur les équations différentielles algébriques du premier ordre et du premier degré" do matemático Jean Gaston Darboux, introduziu em 1878 uma nova maneira de se estudar os campos vetoriais polinomiais. Entre os vários resultados importantes neste artigo, temos o Lema de Darboux. Apresentamos neste texto duas demonstra‡äes. A primeira segue as ideias de Darboux e é feita de uma maneira elementar, usando as propriedades do índice de interse‡Æo entre curvas algébricas planas. A segunda é um pouco mais sofisticada, pois utiliza sequências exatas e resultados sobre as dimensäes dos espa‡os vetoriais que aparecem nestas sequências. Também ilustramos a utilidade do Lema de Darboux apresentando algumas aplica‡äes. Mostramos, por exemplo, que uma solu‡Æo algébrica nÆo-linear e sem pontos múltiplos de um campo vetorial polinomial tem grau menor ou igual ao grau do campo mais um. Numa outra aplica‡Æo, provamos que um campo quadrático polinomial afim real nÆo tem cúbicas como ciclos limites algébricos. Por fim, determinamos o número de singularidades, com as suas respectivas multiplicidades, de um campo vetorial homogêneo com uma quantidade finita de pontos singulares.

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Formado em Bacharelado em Matemática pela Universidade Federal do Paraná (UFPR), Mestre em Matemática pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) e doutorando em Matemática na Universidade de SÆo Paulo (IME-USP). Várias participa‡äes em eventos da área de µlgebra e, por quatro anos, bolsista do Programa de Educa‡Æo Tutorial (PET).

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