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La première partie porte sur la construction d´un arbre couvrant de distance moyenne minimale (ACDM). A partir de nouvelles formules proposées pour évaluer la somme des distances entre paires de sommets dans un arbre, une nouvelle heuristique qui améliore les résultats des algorithmes d´approximation connus est construite. Il est démontré que dans un arbre optimal, l´union des branches d´un sommet de taille inférieure à une expression proportionnelle à la racine carrée du nombre de sommets est un sous-arbre localement de plus courts chemins à partir de ce sommet. Il est également démontré que l´arbre binomial est un optimum local de l´ACDM sur l´hypercube pour l´opération de 1-move. La seconde partie, porte sur la convergence d´un modèle discret de dynamique d´opinions : les réseaux d´automates à fonction majorité. Il est démontré que si la matrice des influences est quasi-symétrique, en mode parallèle les attracteurs du système sont de longueur = 2 et sont uniquement des points fixes en mode série. Grâce aux fonctions de Lyapunov définies pour les deux modes d´itération, les longueurs des transitoires du modèle sont explicitement bornées.

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