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Das Lehrbuch erklärt numerische Methoden der Finanzmathematik exemplarisch anhand der Berechnung von Optionspreisen. Nach einer Einführung in die Modellierung wird die numerische Simulation der Stochastik dargestellt, mit Zufallszahlen und Monte-Carlo-Verfahren. Es folgt die Numerik zu Black-Scholes-Gleichungen, mit Differenzenverfahren und Finite-Element-Verfahren. Die vorgestellten Algorithmen lassen sich unmittelbar implementieren.

Übungsaufgaben, instruktive Abbildungen sowie themenbezogene Anhänge und ergänzendes Material auf der Webseite des Autors runden das Buch ab.

Die zweite Auflage ist stark überarbeitet und erheblich umfangreicher: Verwerfungsmethoden und Monte-Carlo-Methoden für Optionen amerikanischen Typs ergänzen die stochastischen Methoden und ein neues Kapitel befasst sich mit der Bewertung von Optionen auf zwei Assets, mit Strafterm-Methoden und höherdimensionalen Bäumen.

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1 Grundlagen.- 1.1 Optionen.- 1.2 Partielle Differentialgleichungen.- 1.3 Numerische Methoden.- 1.4 Binomial-Bäume.- 1.5 Stochastische Prozesse.- 1.6 Stochastische Differentialgleichungen.- 1.6.1 Itô-Prozess.- 1.6.2 Anwendung auf Aktien.- 1.7 Itô-Lemma und Folgerungen.- Anmerkungen.- Übungsaufgaben.- 2 Berechnung von Zahlen nach vorgebenen Verteilungen.- 2.1 Pseudo-Zufallszahlen.- 2.1.1 Lineare Kongruenz-Methoden.- 2.1.2 Zufalls-Vektoren.- 2.1.3 Fibonacci-Generatoren.- 2.2 Transformierte Zufallsvariable.- 2.2.1 Inversion.- 2.2.2 Transformation im ?1.- 2.2.3 Transformation im ?n.- 2.3 Normalverteilte Zufallsvariable.- 2.3.1 Methode von Box-Muller (1958).- 2.3.2 Methode von Marsaglia.- 2.3.3 Korrelierte Zufallsvariable.- 2.4 Zahlenfolgen mit niedriger Diskrepanz.- 2.4.1 Monte-Carlo-Integration.- 2.4.2 Diskrepanz.- 2.4.3 Beispiele von Folgen niedriger Diskrepanz.- Anmerkungen.- Übungsaufgaben.- 3 Integration von Stochastischen Differentialgleichungen.- 3.1 Genauigkeit.- 3.2 Stochastische Taylorentwicklungen.- 3.3 Beispiele Numerischer Methoden.- 3.4 Zwischenwerte.- 3.5 Monte-Carlo-Simulation.- Anmerkungen.- Übungsaufgaben.- 4 Black-Scholes und Finite Differenzen.- 4.1 Vorbereitungen.- 4.2 Grundlagen von Differenzenverfahren.- 4.2.1 Differenzen-Approximationen.- 4.2.2 Das Gitter.- 4.2.3 Explizites Verfahren.- 4.2.4 Stabilität.- 4.2.5 Implizite Methode.- 4.3 Crank-Nicolson Verfahren.- 4.4 Randbedingungen.- 4.5 Amerikanische Optionen als freie Randwertprobleme.- 4.5.1 Freie Randwertprobleme.- 4.5.2 Black-Scholes-Ungleichung.- 4.5.3 Hindernis-Probleme.- 4.5.4 Lineare Komplementarität für Amerikanische Put Optionen.- 4.6 Berechnung amerikanischer Optionen.- 4.6.1 Diskretisierung mit Finiten Differenzen.- 4.6.2 Iterative Lösung.- 4.6.3 Algorithmus zur Berechnung von Amerikanischen Optionen.- 4.7 Zur Genauigkeit.- Anmerkungen.- Übungsaufgaben.- 5 Finite-Element-Methoden.- 5.1 Gewichtete Residuen.- 5.1.1 Prinzip der gewichteten Residuen.- 5.1.2 Beispiele für Gewichtsfunktionen.- 5.1.3 Beispiele für Basisfunktionen.- 5.2 Galerkin-Ansatz mit Hutfunktionen.- 5.2.1 Hutfunktionen.- 5.2.2 Eine einfache Anwendung.- 5.3 Anwendung auf Optionen.- 5.4 Fehlerabschätzungen.- 5.4.1 Klassische und schwache Lösungen.- 5.4.2 Approximation auf endlich-dimensionalem Teilraum.- 5.4.3 Lemma von Céa.- Anmerkungen.- Übungsaufgaben.- Anhänge.- A1 Finanz-Derivate und ihr Umfeld.- A2 Wichtiges aus Wahrscheinlichkeit und Statistik.- A3 Die Black-Scholes-Gleichung.- A4 Methoden der Numerik.- A6 Funktionenräume.- Literatur.

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Prof. Dr. Rüdiger Seydel, Mathematisches Institut, Universität zu Köln, Köln

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