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Neste trabalho come‡a-se por fazer uma análise sobre a origem da geometria dedutiva, desde Tales de Mileto até ao seu expoente mais alto na Antiguidade Grega - Os Elementos de Euclides -, passando pela Escola Pitagórica, por Hipócrates de Quios e por Aristóteles. Em virtude de o postulado das paralelas ter sido importante para a descoberta da Geometria Hiperbólica, é contada a sua história de forma breve. Na sua obra "Euclides Livre de Todos os Erros" (1733), Gerolamo Saccheri, antecipou a descoberta da geometria nÆo-euclidiana, por isso é feita uma análise do essencial do seu trabalho. Tal análise é complementada com uma descri‡Æo do trabalho de Lambert, que também descobriu resultados importantes, do ponto de vista de uma geometria alternativa à euclidiana. A descoberta da primeira geometria nÆo-euclidiana é devida a Gauss, Lobachevsky e Johann Bolyai. Por isso, faz-se uma descri‡Æo do papel de Gauss, seguida de uma análise detalhada do essencial do pequeno livro de Lobachevsky, publicado em 1840 com o título "Investiga‡äes Geométricas Sobre a Teoria das Paralelas", e de uma compara‡Æo sumária das ideias de Lobachevsky e de J. Bolyai.

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Licenciado em Matemática, Universidade de Aveiro,1995. Mestre em Ensino da Matemática, Faculdadede Ciências da Universidade do Porto, 2006. Mestreem Matemática e Aplica‡äes, Universidade de Aveiro,2014. Docente do Colégio Liceal de Santa Maria deLamas, 1995-2015. Docente do Instituto SuperiorPolitécnico de Tecnologias e Ciências, desde 2015.

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